Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45°.

Ответы на вопрос

Отвечает Сивоплясова Кристина.

Для нахождения площади поверхности правильной треугольной пирамиды, необходимо учесть несколько аспектов: площадь основания и площадь боковых граней.

Площадь основания: основание пирамиды — правильный треугольник. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ можно вычислить по формуле:

S_{\text{основания}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}

Площадь боковых граней: каждая боковая грань — это равнобедренный треугольник. Для нахождения площади боковой грани нужно знать её высоту. Эта высота будет перпендикулярна стороне основания и проходит через вершину пирамиды.
Двугранный угол: двугранный угол при стороне основания — это угол между двумя плоскостями, содержащими боковые грани, и он равен 45°. Этот угол помогает нам связать высоту пирамиды с её размерами.

Для треугольной пирамиды с двугранным углом 45° и высотой $h$ , отношение высоты пирамиды к расстоянию от вершины до середины стороны основания связано через тангенс двугранного угла:

\tan(45^\circ) = 1 = \frac{h}{r}

где $r$ — расстояние от вершины пирамиды до центра основания (то есть высота, опущенная на середину стороны треугольника). Следовательно, $h = r$ .

Вычисление стороны основания: радиус описанной окружности правильного треугольника (расстояние от центра до вершины) для треугольника со стороной $a$ равен:

r = \frac{a \sqrt{3}}{3}

Итак, $h = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ , откуда можно выразить сторону основания $a$ через высоту $h$ :

a = \frac{3h}{\sqrt{3}} = h \sqrt{3}

Площадь основания: теперь, зная сторону основания $a = h \sqrt{3}$ , можно вычислить площадь основания:

S_{\text{основания}} = \frac{(h \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3h^2 \sqrt{3}}{4}

Площадь боковых граней: площадь боковой грани можно найти как площадь равнобедренного треугольника, где основание — это сторона основания $a$ , а высота $l$ — это апофема, длина бокового ребра пирамиды. Для правильной треугольной пирамиды высота боковой грани $l$ связана с высотой пирамиды и расстоянием от вершины до середины основания:

l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}

Подставим значение $a = h \sqrt{3}$ :

l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{h \sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{h^2 + \frac{3h^2}{4}} = \sqrt{\frac{7h^2}{4}} = \frac{\sqrt{7} h}{2}

Площадь одной боковой грани:

S_{\text{боковой грани}} = \frac{1}{2} \times a \times l = \frac{1}{2} \times h \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{7} h}{2} = \frac{\sqrt{21} h^2}{4}

Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия