Один из углов прямоугольного треугольника равен 30 градусам, а разность гипотенузы и меньшего катета — 5 см. Найдите эти стороны треугольника.

Для того чтобы найти гипотенузу и меньший катет прямоугольного треугольника, начнём с рассмотрения всех известных данных.

1. У нас есть прямоугольный треугольник, и один из его углов равен 30 градусам. Так как в прямоугольном треугольнике всегда один угол 90°, то второй угол будет 60° (так как сумма углов треугольника всегда равна 180°).

2. В таком треугольнике, где угол равен 30°, мы можем воспользоваться свойствами углов и сторон. Известно, что для прямоугольного треугольника с углом 30° отношение сторон следующее:

   • Катет, противолежащий углу 30° (меньший катет), равен половине гипотенузы.

   • Катет, противолежащий углу 60° (больший катет), равен половине гипотенузы, умноженной на √3.

Пусть гипотенуза равна $c$, меньший катет — $a$. Из условий задачи:

• Меньший катет равен половине гипотенузы, то есть $a = \frac{c}{2}$.

• Разность гипотенузы и меньшего катета равна 5 см, то есть $c - a = 5$.

Теперь подставим выражение для меньшего катета $a = \frac{c}{2}$ в уравнение $c - a = 5$:

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

Теперь, когда мы нашли гипотенузу, можем найти меньший катет:

Таким образом, гипотенуза равна 10 см, а меньший катет равен 5 см.