В основании прямого параллелепипеда лежит ромб с диагоналями 18 и 24. Найди длину бокового ребра параллелепипеда, если сумма площадей всех его граней равна 852.

Для того чтобы найти длину бокового ребра прямого параллелепипеда, нужно рассмотреть несколько важных моментов.

1. Площадь основания параллелепипеда:
   Основание параллелепипеда — это ромб. Площадь ромба можно вычислить по формуле:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$$

   где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.

   Из условия задачи $d_1 = 18$ и $d_2 = 24$. Подставляем эти значения:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216$$

   То есть, площадь основания параллелепипеда равна 216.

2. Сумма площадей всех граней параллелепипеда:
   Параллелепипед имеет 6 граней, две из которых — это основания, которые имеют площадь 216 каждая. Остальные 4 грани являются прямоугольниками с длинами сторон, равными длинам сторон ромба и высоте параллелепипеда. Обозначим высоту параллелепипеда как $h$, а длины сторон ромба — как $a$.

3. Длина стороны ромба:
   Для нахождения длины стороны ромба используем теорему Пифагора. Стороны ромба являются гипотенузами прямоугольных треугольников, где половины диагоналей являются катетами. Половины диагоналей равны $\frac{d_1}{2} = 9$ и $\frac{d_2}{2} = 12$. Тогда длина стороны ромба $a$ можно найти по формуле:

   $$a = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$$

   То есть длина стороны ромба равна 15.

4. Сумма площадей всех граней параллелепипеда:
   Сумма площадей всех граней параллелепипеда — это сумма двух оснований и четырёх боковых прямоугольных граней. Площадь боковой грани с основанием $a = 15$ и высотой $h$ равна $a \cdot h = 15 \cdot h$. Так как боковых граней четыре, их общая площадь равна $4 \cdot 15 \cdot h = 60h$.

   Площадь двух оснований равна $2 \cdot 216 = 432$.

   Таким образом, общая площадь всех граней параллелепипеда равна:

   $$432 + 60h$$

   Из условия задачи известно, что эта сумма равна 852:

   $$432 + 60h = 852$$

   Решим это уравнение относительно $h$:

   $$60h = 852 - 432 = 420$$ $$h = \frac{420}{60} = 7$$

   Таким образом, высота параллелепипеда $h = 7$.

5. Длина бокового ребра параллелепипеда:
   Боковое ребро параллелепипеда — это ребро, соединяющее вершины основания с верхней гранью. Длина этого ребра является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются сторона ромба $a = 15$ и высота параллелепипеда $h = 7$. Длина бокового ребра $l$ вычисляется по теореме Пифагора:

   $$l = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{15^2 + 7^2} = \sqrt{225 + 49} = \sqrt{274}$$

   Приблизительно:

   $$l \approx 16.55$$

Ответ: длина бокового ребра параллелепипеда примерно равна 16.55.