1. Найдите длину окружности с радиусом 9 см. Чему равна длина ее дуги с градусной мерой 20 градусов? 2. Длина окружности, вписанной в правильный треугольник, равна 2√3π см. Найдите длину окружности, описанной около этого треугольника.

1. Для того чтобы найти длину окружности, нужно использовать формулу:

где $r$ — радиус окружности.

Для окружности с радиусом 9 см:

Теперь, чтобы найти длину дуги с градусной мерой 20 градусов, нужно вычислить, какая часть окружности соответствует 20 градусам. Для этого используем следующую формулу:

где $\theta = 20^\circ$ — угол дуги, а $L$ — длина всей окружности.

Ответ: длина дуги окружности с радиусом 9 см и углом 20 градусов равна $\pi$ см.

2. Длина окружности, вписанной в правильный треугольник, дана как $2\sqrt{3}\pi$ см. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $r_{\text{вписанная}}$ связан с длиной стороны треугольника $a$ через формулу:

Из условия задачи мы знаем, что длина окружности вписанной окружности равна $2\sqrt{3} \pi$. Для окружности радиус $r_{\text{вписанная}}$ длина окружности будет равна:

Отсюда находим $r_{\text{вписанная}} = \sqrt{3}$.

Теперь мы можем найти длину стороны треугольника, используя связь с радиусом вписанной окружности:

Подставим $r_{\text{вписанная}} = \sqrt{3}$:

Решив это уравнение относительно $a$, получаем:

Теперь, чтобы найти длину окружности, описанной около этого правильного треугольника, используем формулу для радиуса описанной окружности правильного треугольника:

Подставляем $a = 6$:

Длина окружности описанной окружности будет равна:

Ответ: длина окружности, описанной около правильного треугольника, равна $4 \pi \sqrt{3}$ см.