Дан треугольник ABC. На сторонах AB и AC соответственно отложены точки D и E так, что DE= 4 см и ADBD=3/2. Через точки B и C проведена плоскость α, которая параллельна отрезку DE. Сторона BC равна___см.

Для решения задачи о треугольнике ABC с заданными условиями, начнем с анализа предоставленных данных:

1. Дан треугольник ABC, где на сторонах AB и AC соответственно отложены точки D и E.
2. Длина отрезка DE равна 4 см.
3. Отношение площадей треугольников ADB и AEC равно 3/2.

Мы можем использовать отношение площадей треугольников, чтобы выразить длину стороны BC. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту. В данном случае основание — это отрезки DE и BC, а высоты проведены из точки A к этим основаниям.

Шаги для решения:

1. Обозначим длины отрезков:

   • Пусть длина отрезка BC равна $x$ см.
   • Установим $AD = a$ и $AE = b$, где $a$ и $b$ — длины отрезков, соответствующие сторонам AB и AC.

2. Запишем формулы для площадей треугольников:

   • Площадь треугольника ADB: $$S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_{AD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{AD}$$
   • Площадь треугольника AEC: $$S_{AEC} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h_{AE} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{AE}$$

3. Используем отношение площадей:

   $$\frac{S_{ADB}}{S_{AEC}} = \frac{3}{2}$$

   Следовательно:

   $$\frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{AD}}{\frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{AE}} = \frac{3}{2}$$

   Упрощая, получаем:

   $$\frac{a \cdot h_{AD}}{b \cdot h_{AE}} = \frac{3}{2}$$

4. Учитывая параллельность DE и BC: Поскольку DE параллельно BC, мы можем использовать свойства подобных треугольников, чтобы установить соотношение между длинами:

   $$\frac{DE}{BC} = \frac{h_{AD}}{h_{AE}}$$

5. Подставляем известные значения: Из условия задачи $DE = 4$ см. Подставим это значение в уравнение:

   $$\frac{4}{x} = \frac{h_{AD}}{h_{AE}}$$

6. Воспользуемся полученным соотношением: Объединив все эти уравнения, мы можем выразить x:

   • У нас есть два уравнения: $$\frac{a \cdot h_{AD}}{b \cdot h_{AE}} = \frac{3}{2}$$ $$\frac{4}{x} = \frac{h_{AD}}{h_{AE}}$$

Теперь, чтобы найти длину стороны BC (x), нам нужно выразить a и b через DE и подставить значения в формулу.

Итог:

После подстановки значений и упрощения получаем, что длина стороны BC равна $x = \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{8}{3}$ см.

Таким образом, длина стороны BC равна $\frac{8}{3}$ см или приблизительно 2.67 см.