Из вершины С правильного треугольника АВС со стороной 10 см проведен к его плоскости перпендикуляр СМ длиной 6 см. Вычислите расстояние от точки М до стороны АВ.

Рассмотрю равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=10$. В нём высота к стороне $AB$ из вершины $C$ равна

где $H$ — середина $AB$ (в равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают).

Точка $M$ получена так: из $C$ проведён перпендикуляр к плоскости треугольника длиной $CM=6$ см. Проекция $M$ на плоскость треугольника — это как раз $C$, а на прямую $AB$ — точка $H$. Тогда отрезок, соединяющий $M$ с $AB$ перпендикулярно (то есть $MH$), раскладывается на две взаимно перпендикулярные составляющие: $CH$ (в плоскости) и $CM$ (вне плоскости). Поэтому

Значит,

Ответ: $\sqrt{111}$ см.