Известно, что длина наклонной в пять раз больше длины её проекции на плоскость. Найди тангенс угла между наклонной и проекцией.

Пусть $L$ — длина наклонной, а $P$ — длина её проекции на плоскость. Из условия задачи известно, что длина наклонной в 5 раз больше длины её проекции, то есть:

Теперь рассмотрим угол между наклонной и её проекцией. Обозначим этот угол через $\theta$. Мы знаем, что длина наклонной, проекция наклонной на плоскость и их взаимное расположение связаны через косинус угла между ними. Это можно записать как:

Подставляем $L = 5P$ в это уравнение:

Делим обе части на $P$ (при $P \neq 0$):

Таким образом, получаем:

Теперь, зная $\cos(\theta)$, можем найти тангенс угла $\theta$. Из тригонометрической идентичности:

Используем соотношение $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$, чтобы найти $\sin(\theta)$. Из этого:

Тогда:

Теперь можем найти $\tan(\theta)$:

Таким образом, тангенс угла между наклонной и её проекцией равен $2\sqrt{6}$.