На стороне AD квадрата ABCD отметили точку K, а на продолжении луча AB за точку B — точку L. Известно, что ∠LKC = 45◦, AK = 1, KD = 2. Найдите LB. С подробным объяснением и чертежем!!!

Рассмотрим квадрат ABCD, где на стороне AD отмечена точка K, а на продолжении луча AB за точку B — точка L. Нам известно, что:

• ∠LKC = 45°,
• AK = 1,
• KD = 2.

Задача заключается в том, чтобы найти длину отрезка LB.

Шаг 1. Определим длины сторон квадрата

Из условий задачи известно, что точка K лежит на стороне AD, при этом $AK = 1$ и $KD = 2$. Таким образом, вся длина стороны квадрата AD равна $AK + KD = 1 + 2 = 3$.

Шаг 2. Введём координаты вершин квадрата

Для удобства решения задачи расположим квадрат ABCD на координатной плоскости следующим образом:

• точка A — в начале координат: $A(0, 0)$,
• точка B — на оси Ox, так как AB — это горизонтальная сторона квадрата: $B(3, 0)$,
• точка D — на оси Oy, так как AD — это вертикальная сторона квадрата: $D(0, 3)$,
• точка C — противоположная вершина квадрата: $C(3, 3)$.

Шаг 3. Найдём координаты точки K

Поскольку точка K лежит на стороне AD и делит её на отрезки AK и KD, имеем, что точка K находится на расстоянии 1 от A и 2 от D вдоль стороны AD. Следовательно, её координаты: $K(0, 1)$.

Шаг 4. Введём неизвестные координаты точки L

Пусть координаты точки L будут $L(x, 0)$, так как она лежит на продолжении стороны AB.

Шаг 5. Используем условие угла ∠LKC = 45°

Из условия задачи известно, что ∠LKC = 45°. Мы можем воспользоваться тангенсом этого угла, так как угол между прямыми определяется через разность углов наклона этих прямых. Для этого найдём углы наклона прямых KL и KC.

Прямая KL

Угол наклона прямой KL можно найти как угол между вектором $L(x, 0)$ и $K(0, 1)$. Тангенс угла наклона прямой KL равен:

Прямая KC

Аналогично найдём угол наклона прямой KC. Вектор $C(3, 3)$ и $K(0, 1)$ даёт тангенс угла наклона:

Шаг 6. Применение условия тангенса разности углов

Так как угол между прямыми равен 45°, это значит, что выполняется следующее равенство для тангенсов углов наклона:

Решим это уравнение относительно $x$.

Приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю:

Умножим обе части уравнения на знаменатель и решим его:

Приведём все члены к общему знаменателю и решим относительно $x$:

Шаг 7. Ответ

Таким образом, длина отрезка LB равна 5.

Чертёж

Для наглядности вы можете построить квадрат ABCD, отметить на стороне AD точку K, на продолжении AB — точку L, и изобразить угол ∠LKC.