На стороне АВ треугольника АВС отметили точку M так, что АM:MB=4:9. Через точку M провели прямую, которую параллельна стороне BС треугольника и пересекает сторону AС в точке K. Найдите отрезок MK,если BC=26 см.

Ваша задача связана с теоремой Фалеса и свойствами подобных треугольников. Давайте разберём её пошагово.

1. Использование теоремы Фалеса: Поскольку MK параллельна BC, треугольник ABC и треугольник AMK подобны по двум углам (угол A общий, и углы при вершинах B и M равны как соответственные при параллельных прямых и секущей). Это означает, что отношения соответствующих сторон этих треугольников равны.

2. Отношения сторон в подобных треугольниках: Из условия мы знаем, что AM:MB = 4:9. В подобных треугольниках ABC и AMK отношение AM:AB в треугольнике AMK будет таким же, как AC:BC в треугольнике ABC.

3. Нахождение отношения AC:BC: Поскольку AM:MB = 4:9, то AB можно представить как сумму этих отношений, то есть AB = AM + MB = 4x + 9x = 13x, где x — это некоторая единица измерения. Таким образом, AM:AB = 4x:13x.

4. Применение отношений к треугольнику AMK: Поскольку AC:BC = AM:AB, то AC:26 см = 4x:13x. Теперь мы можем найти длину AC. Пусть AC = y см, тогда y:26 = 4:13.

5. Решение пропорции для нахождения y (AC): y/26 = 4/13. Решая эту пропорцию, получаем y = (4/13) * 26.

6. Вычисление y (длины AC): y = (4/13) * 26 = 8 см. Это длина AC.

7. Нахождение MK: Теперь, учитывая, что треугольники AMK и ABC подобны, отношение MK:BC такое же, как AK:AC. Поскольку AK = AM, и AM = 4x, а AC мы нашли равной 8 см, то MK:26 = 4x:8.

8. Решение пропорции для нахождения MK: MK/26 = 4x/8. Учитывая, что 4x = AM и AM:MB = 4:9, мы можем найти AM в терминах длины AB. Поскольку AB = AM + MB = 13x, AM = 4/13 AB. Пусть AB = z, тогда AM = 4/13 z.

9. Вычисление MK: Подставив AM в пропорцию для MK, получим MK/26 = (4/13 z)/8. Но нам нужно найти z, длину AB. Мы знаем, что AC + BC = AB, так что z = AC + BC = 8 + 26 = 34 см. Теперь подставляем z в пропорцию: MK/26 = (4/13 * 34)/8.

10. Вычисление MK: Решая пропорцию, получаем MK = 26 * (4/13 * 34)/8 = 26 * (136/104) = 34 см.

Таким образом, длина отрезка MK равна 34 см.