В прямоугольном треугольнике гипотенуза относится к катету как 5:3. Найдите периметр треугольника, если второй катет равен 12 см.

Для того чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, нам нужно использовать информацию о соотношении гипотенузы и одного из катетов, а также знать длину второго катета.

1. Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Согласно условию, гипотенуза $c$ относится к катету $a$ как 5:3. То есть можно записать следующее соотношение:

   $$\frac{c}{a} = \frac{5}{3}$$

   Или:

   $$c = \frac{5}{3} \cdot a$$

2. Мы знаем, что второй катет $b = 12$ см. Теперь применим теорему Пифагора, которая гласит, что для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:

   $$a^2 + b^2 = c^2$$

   Подставим в это выражение $b = 12$ и $c = \frac{5}{3} \cdot a$:

   $$a^2 + 12^2 = \left( \frac{5}{3} \cdot a \right)^2$$

   Упростим выражение:

   $$a^2 + 144 = \frac{25}{9} \cdot a^2$$

3. Переносим все члены с $a^2$ в одну сторону:

   $$a^2 - \frac{25}{9} \cdot a^2 = -144$$

   Вынесем $a^2$ за скобки:

   $$a^2 \left( 1 - \frac{25}{9} \right) = -144$$

   Упростим выражение в скобках:

   $$1 - \frac{25}{9} = \frac{9}{9} - \frac{25}{9} = \frac{-16}{9}$$

   Получаем:

   $$a^2 \cdot \frac{-16}{9} = -144$$

   Умножим обе стороны на $\frac{9}{-16}$, чтобы выразить $a^2$:

   $$a^2 = \frac{-144 \cdot -16}{9} = \frac{2304}{9} = 256$$

4. Таким образом, $a = \sqrt{256} = 16$ см.

5. Теперь, зная $a = 16$ см, находим гипотенузу $c$:

   $$c = \frac{5}{3} \cdot 16 = \frac{80}{3} \approx 26.67 \text{ см}$$

6. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон:

   $$P = a + b + c = 16 + 12 + \frac{80}{3} = 28 + \frac{80}{3}$$

   Приведем к общему знаменателю:

   $$P = \frac{84}{3} + \frac{80}{3} = \frac{164}{3} \approx 54.67 \text{ см}$$

Таким образом, периметр треугольника примерно равен 54.67 см.