Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды, равное 12, образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми рёбрами 12 и основанием — стороной квадрата $a$. Дано: боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$.

1. Проекция бокового ребра на основание равна $12\cos60^\circ=6$. Это расстояние от центра квадрата $O$ до вершины $A$ основания, то есть

2. Высота пирамиды:

3. Апофема (высота боковой грани к основанию) через прямоугольный треугольник $SOM$, где $M$ — середина стороны основания:

4. Площадь одной боковой грани:

5. Боковая поверхность (четыре грани):

Ответ: $\boxed{72\sqrt7}$.