Через вершину А прямоугольника АВСД проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что КД=6 см, КВ=7 см, КС=9 см. Найдите расстояние между прямыми АК и СД.

Решение.

Удобно ввести координаты в плоскости прямоугольника:
$A(0,0,0),\; B(b,0,0),\; D(0,c,0),\; C(b,c,0)$. Точка $K$ лежит на перпендикуляре через $A$: $K(0,0,h)$.

Даны расстояния:

Из первых двух: $b^2=49-h^2,\; c^2=36-h^2$. Подставим в третье:

Тогда

Расстояние между прямыми $AK$ (перпендикуляр к плоскости) и $CD$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $CD$ в плоскости, потому что общая перпендикулярная к $AK$ и $CD$ лежит в плоскости и проходит через $A$. А это просто $AD=c$.

Ответ: $\boxed{4\sqrt2\text{ см}}$.