1. Через вершину K треугольника MKP проведена прямая KN, перпендикулярная к плоскости треугольника. Известно, что KN=15 см, MK=KP=10 см, MP=12 см. Найдите расстояние от точки N до прямой MP. 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите двугранный угол B₁ADB, если AC=6√2 м, AB₁=4√3 м, ABCD — квадрат.

1. Задача 1: Найти расстояние от точки N до прямой MP

Для решения задачи нужно понимать, что прямая $KN$ перпендикулярна плоскости треугольника $MKP$, и точка $N$ находится на прямой $KN$, которая лежит в пространстве, перпендикулярном треугольнику.

• Из условия задачи известно:

  • $KN = 15 \, \text{см}$,

  • $MK = KP = 10 \, \text{см}$,

  • $MP = 12 \, \text{см}$,

  • Треугольник $MKP$ лежит в одной плоскости.

Для нахождения расстояния от точки $N$ до прямой $MP$, нам нужно использовать теорему о расстоянии между точкой и прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле:

Здесь:

• $\overrightarrow{A B}$ и $\overrightarrow{A C}$ — это векторы, исходящие из точки $A$ (в данном случае точки $N$) и направленные вдоль прямых, содержащих стороны треугольника.

• Треугольник $MKP$ можно рассматривать как координатную фигуру в пространстве, что позволяет нам вычислить это расстояние.

Таким образом, через координаты точек и вычисление векторного произведения можно найти точное расстояние. Однако для упрощения задачи давайте отметить, что так как $KN$ перпендикулярна плоскости, то из этого можно сделать вывод, что точка $N$ лежит на высоте, и ее проекция на плоскость треугольника будет лежать на прямой, перпендикулярной к $MP$.

2. Задача 2: Найти двугранный угол $\angle B_1 A D B$ в прямоугольном параллелепипеде

• В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, как указано в условии, $ABCD$ — квадрат, и нам даны следующие данные:

  • $AC = 6 \sqrt{2} \, \text{м}$,

  • $AB_1 = 4 \sqrt{3} \, \text{м}$,

  • $AB = BC = CD = DA$.

Мы знаем, что в прямоугольном параллелепипеде углы между гранями, которые пересекаются вдоль ребра, всегда прямые. Чтобы найти двугранный угол между гранями, которые содержат ребра $AB$ и $AD$, можно использовать методы анализа углов в трёхмерном пространстве.

Для нахождения двугранного угла используется скалярное произведение нормальных векторов граней. Нормальные векторы для граней, содержащих ребра $AB$ и $AD$, можно выразить через координаты этих точек. После вычисления нормалей нужно применить формулу для угла между двумя векторами:

Где $\overrightarrow{n_1}$ и $\overrightarrow{n_2}$ — нормальные векторы плоскостей.