Точки (5;2), (2;-3), (2,1) являются серединами сторон треугольника. Найдите координаты его вершин.

Решение.

Пусть даны середины сторон треугольника:
$M_a(5,\,2)$ — середина $BC$, $M_b(2,\,-3)$ — середина $CA$, $M_c(2,\,1)$ — середина $AB$.

Если $A(x_A,y_A), B(x_B,y_B), C(x_C,y_C)$, то

Отсюда выражаются вершины:

Подставим числа.

1. $A = (2,\,-3)+(2,\,1)-(5,\,2)=(2+2-5,\,-3+1-2)=(-1,\,-4).$

2. $B = (5,\,2)+(2,\,1)-(2,\,-3)=(5+2-2,\,2+1-(-3))=(5,\,6).$

3. $C = (5,\,2)+(2,\,-3)-(2,\,1)=(5+2-2,\,2-3-1)=(5,\,-2).$

Проверка: середины $BC, CA, AB$ соответственно равны $(5,2), (2,-3), (2,1)$, как и задано.

Ответ: вершины треугольника — $\;A(-1,-4),\; B(5,6),\; C(5,-2)$ (с точностью до перестановки названий вершин).