Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A(-3;-1), B(1;-1), C(1;-3), D(-3;-3) является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что хотя бы одна из его углов — прямой, то есть равен 90°. Для этого можно воспользоваться свойствами углов и координат точек, используя скалярное произведение векторов.

1. Вычислим векторы сторон четырёхугольника:

   • Вектор AB: разность координат точек B и A.

     $$\overrightarrow{AB} = (1 - (-3), -1 - (-1)) = (4, 0)$$

   • Вектор BC: разность координат точек C и B.

     $$\overrightarrow{BC} = (1 - 1, -3 - (-1)) = (0, -2)$$

   • Вектор CD: разность координат точек D и C.

     $$\overrightarrow{CD} = (-3 - 1, -3 - (-3)) = (-4, 0)$$

   • Вектор DA: разность координат точек A и D.

     $$\overrightarrow{DA} = (-3 - (-3), -1 - (-3)) = (0, 2)$$

2. Проверим перпендикулярность смежных сторон. Для этого вычислим скалярное произведение соответствующих векторов. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны, а значит, угол между ними прямой.

   • Скалярное произведение векторов AB и BC:

     $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (4, 0) \cdot (0, -2) = 4 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) = 0$$

     Так как скалярное произведение равно 0, векторы AB и BC перпендикулярны, а значит, угол ABC прямой.

   • Скалярное произведение векторов BC и CD:

     $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = (0, -2) \cdot (-4, 0) = 0 \cdot (-4) + (-2) \cdot 0 = 0$$

     Скалярное произведение также равно 0, значит, угол BCD прямой.

   • Скалярное произведение векторов CD и DA:

     $$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = (-4, 0) \cdot (0, 2) = (-4) \cdot 0 + 0 \cdot 2 = 0$$

     Скалярное произведение равно 0, следовательно, угол CDA прямой.

   • Скалярное произведение векторов DA и AB:

     $$\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = (0, 2) \cdot (4, 0) = 0 \cdot 4 + 2 \cdot 0 = 0$$

     Скалярное произведение равно 0, значит, угол DAB прямой.

3. Вывод: Поскольку все углы четырёхугольника ABCD являются прямыми (углы ABC, BCD, CDA и DAB), то четырёхугольник является прямоугольником.