В треугольнике АВС угол С=90 градусов, АС=6 см, ВС=8 см, СМ — медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС; СК=12 см. Найти КМ.

В данной задаче треугольник $ABC$ прямоугольный с углом $C = 90^\circ$. Известно, что $AC = 6$ см, $BC = 8$ см, а также, что $CM$ — медиана, где точка $M$ — середина гипотенузы $AB$. Через точку $C$ проведена прямая $CK$, перпендикулярная к плоскости треугольника $ABC$, и её длина равна $CK = 12$ см. Нужно найти длину отрезка $KM$.

1. Вычислим длину гипотенузы $AB$ с помощью теоремы Пифагора:
   В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом в $C$ длина гипотенузы $AB$ равна:

   $$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}.$$

2. Найдём длину медианы $CM$:
   Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. Таким образом, длина медианы $CM$ будет:

   $$CM = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}.$$

3. Определим координаты точек:
   Положим, что точка $C$ находится в начале координат: $C(0, 0, 0)$. Точка $A$ расположена на оси $x$, на расстоянии 6 см от $C$, то есть $A(6, 0, 0)$. Точка $B$ расположена на оси $y$, на расстоянии 8 см от $C$, то есть $B(0, 8, 0)$.

4. Найдем координаты точки $M$, середины гипотенузы:
   Точка $M$ — середина гипотенузы $AB$, поэтому её координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек $A$ и $B$:

   $$M = \left( \frac{6 + 0}{2}, \frac{0 + 8}{2}, 0 \right) = (3, 4, 0).$$

5. Найдем координаты точки $K$:
   Прямая $CK$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$, следовательно, точка $K$ лежит на оси $z$, а её координаты будут: $K(0, 0, 12)$.

6. Вычислим расстояние $KM$:
   Для нахождения расстояния между точками $K(0, 0, 12)$ и $M(3, 4, 0)$ используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

   $$KM = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}.$$

   Подставляем координаты:

   $$KM = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 12)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}.$$

Ответ: $KM = 13$ см.