Найдите площадь квадрата вписанного в правильный треугольник со стороной а

Чтобы найти площадь квадрата, вписанного в правильный треугольник со стороной $a$, давайте рассмотрим конструкцию.

1. Определение размеров треугольника: У нас есть правильный треугольник с каждой стороной $a$. Высота этого треугольника может быть найдена с помощью формулы для высоты правильного треугольника:

   $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

2. Вписанный квадрат: Квадрат будет вписан в этот треугольник таким образом, что одна из его сторон лежит на основании треугольника, а две другие стороны касаются боковых сторон треугольника.

3. Размеры квадрата: Обозначим сторону вписанного квадрата как $x$. Когда квадрат вписан в треугольник, его верхние углы касаются боковых сторон треугольника. Это создает два прямоугольных треугольника по бокам от квадрата.

4. Система уравнений: Высота правильного треугольника $h$ равна сумме высоты квадрата $x$ и высоты двух образованных прямоугольных треугольников. Высота каждого из этих треугольников равна:

   $$h_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} (a - x)$$

   С учетом того, что высота квадрата равна $x$, мы можем записать уравнение:

   $$x + h_1 = h$$

   Подставляя значения, получаем:

   $$x + \frac{\sqrt{3}}{2} (a - x) = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

5. Решение уравнения: Упростим уравнение:

   $$x + \frac{\sqrt{3}}{2} a - \frac{\sqrt{3}}{2} x = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

   Переносим все термины, содержащие $x$, в одну сторону:

   $$x - \frac{\sqrt{3}}{2} x = 0$$ $$x \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0$$

   Из этого уравнения видно, что:

   $$x = \frac{2a}{2 + \sqrt{3}}$$

6. Площадь квадрата: Теперь, чтобы найти площадь квадрата, используем формулу:

   $$S = x^2 = \left(\frac{2a}{2 + \sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4a^2}{(2 + \sqrt{3})^2}$$

7. Упрощение: Если упрощать $(2 + \sqrt{3})^2$, получаем:

   $$(2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$$

   Таким образом, площадь квадрата:

   $$S = \frac{4a^2}{7 + 4\sqrt{3}}$$

Таким образом, площадь квадрата, вписанного в правильный треугольник со стороной $a$, равна $\frac{4a^2}{7 + 4\sqrt{3}}$.