Квадрат со стороной 8 см описан около окружности. Найдите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30 градусов,вписанного в данную окружность.

Чтобы решить задачу, начнем с анализа окружности, вписанной в квадрат. Известно, что у нас есть квадрат со стороной 8 см, описанный около окружности. Это означает, что окружность касается всех четырех сторон квадрата в их серединах, а диаметр окружности равен стороне квадрата.

Шаг 1. Определение радиуса окружности

Так как квадрат описан около окружности, его сторона совпадает с диаметром окружности. Следовательно, диаметр окружности $d$ равен 8 см. Радиус окружности $r$ равен половине диаметра:

Шаг 2. Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность

Нам нужно найти площадь прямоугольного треугольника, который вписан в окружность, с острым углом 30 градусов. Используем важное свойство вписанных в окружность прямоугольных треугольников: гипотенуза такого треугольника является диаметром окружности. Значит, гипотенуза нашего треугольника равна 8 см.

Шаг 3. Определение сторон треугольника

Так как один из острых углов треугольника равен 30 градусам, можно воспользоваться соотношениями в треугольнике с углом 30 градусов. В прямоугольном треугольнике, где один угол равен 30 градусов, напротив угла 30 градусов лежит катет, который равен половине гипотенузы. Тогда длина этого катета $a$ равна:

Второй катет $b$, лежащий напротив угла в 60 градусов, можно найти с помощью теоремы Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

где $c$ — гипотенуза, $a$ — катет напротив угла в 30 градусов, $b$ — катет напротив угла в 60 градусов. Подставим известные значения:

Шаг 4. Площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

Подставим значения:

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30 градусов, вписанного в данную окружность, равна $8\sqrt{3}$ квадратных сантиметров.