В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А до плоскости BDA1.

Для того чтобы найти расстояние от точки $A$ до плоскости $BDA1$ в единичном кубе, начнем с геометрического анализа.

Пусть куб имеет вершины $A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $C(1, 1, 0)$, $D(0, 1, 0)$, $A1(0, 0, 1)$, $B1(1, 0, 1)$, $C1(1, 1, 1)$, $D1(0, 1, 1)$.

Плоскость $BDA1$ проходит через три точки: $B(1, 0, 0)$, $D(0, 1, 0)$ и $A1(0, 0, 1)$. Мы можем найти уравнение этой плоскости, используя векторное произведение векторов $\overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{BA1}$, которые являются направляющими для плоскости.

1. Вектор $\overrightarrow{BD} = D - B = (0, 1, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 0)$.

2. Вектор $\overrightarrow{BA1} = A1 - B = (0, 0, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 0, 1)$.

Теперь находим векторное произведение этих векторов, которое даст нам нормаль к плоскости $BDA1$:

Таким образом, нормальный вектор к плоскости $BDA1$ — это $\overrightarrow{N} = (1, 1, 1)$.

Теперь запишем уравнение плоскости $BDA1$. Плоскость проходит через точку $B(1, 0, 0)$ и имеет нормаль $(1, 1, 1)$, поэтому уравнение плоскости будет выглядеть так:

Теперь мы можем найти расстояние от точки $A(0, 0, 0)$ до этой плоскости. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости с уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$ рассчитывается по формуле: