В единичном кубе abcda1b1c1d1 найти
1) угол между прямыми ad1 и a1b
2) между прямой dd1 и плоскостью a1bc1
3) между плоскостями abc и ab1d1

Решение

1) Угол между прямыми $AD_1$ и $A_1B$

Прямые $AD_1$ и $A_1B$ принадлежат единичному кубу, и их координаты можно найти, определив их концы:

• $A(0, 0, 0)$, $D_1(0, 1, 1)$ — для прямой $AD_1$,
• $A_1(0, 0, 1)$, $B(1, 0, 0)$ — для прямой $A_1B$.

Для нахождения угла между прямыми используется скалярное произведение их направляющих векторов:

Шаг 1. Найдём направляющие векторы:

Шаг 2. Скалярное произведение:

Шаг 3. Длины векторов:

Шаг 4. Косинус угла:

Шаг 5. Угол:

Ответ: угол между $AD_1$ и $A_1B$ равен $120^\circ$.

2) Угол между прямой $DD_1$