В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 точки E, K, L - середины ребер АА1, СД, В1С1 соответствено? точки М и N расположены на ЕК и LК так, что ЕМ:МК=2:3 LN:NK=1:4 MN-?
Можно поэтапно-вычислительный методом, пожалуйста

Давайте разберем задачу поэтапно и вычислим расстояние $MN$.

Условия задачи:

• Дано единичный куб с вершинами $A$, $B$, $C$, $D$, $A1$, $B1$, $C1$, $D1$.
• Точки $E$, $K$, и $L$ — середины ребер $AA1$, $CD$, и $B1C1$ соответственно.
• Точки $M$ и $N$ лежат на отрезках $EK$ и $LK$ соответственно, с заданными отношениями деления этих отрезков:
  • $\frac{EM}{MK} = 2:3$,
  • $\frac{LN}{NK} = 1:4$.

Нужно найти расстояние $MN$.

Шаг 1: Установим координаты вершин куба

Предположим, что куб расположен в трехмерном пространстве с вершинами в следующих координатах:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(1, 0, 0)$
• $C(1, 1, 0)$
• $D(0, 1, 0)$
• $A1(0, 0, 1)$
• $B1(1, 0, 1)$
• $C1(1, 1, 1)$
• $D1(0, 1, 1)$

Шаг 2: Определим координаты точек $E$, $K$, и $L$

• Точка $E$ — середина ребра $AA1$, поэтому ее координаты: $$E = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2} \right) = (0, 0, 0.5)$$
• Точка $K$ — середина ребра $CD$, ее координаты: $$K = \left( \frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 1, 0 \right)$$
• Точка $L$ — середина ребра $B1C1$, ее координаты: $$L = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2} \right) = \left( 1, \frac{1}{2}, 1 \right)$$

Шаг 3: Определим координаты точек $M$ и $N$

Точки $M$ и $N$ лежат на отрезках $EK$ и $LK$ соответственно, с определенными отношениями деления этих отрезков.

Точка $M$ на отрезке $EK$

Отрезок $EK$ соединяет точки $E(0, 0, 0.5)$ и $K \left( \frac{1}{2}, 1, 0 \right)$. Координаты точки $M$ делят отрезок в отношении $2:3$, то есть $M$ находится на $\frac{2}{5}$ расстояния от $E$ к $K$.

Используем формулу для нахождения точки, делящей отрезок в заданном отношении: