В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известно,что AB=6,25,AC=5.Найдите ,в каком отношении биссиктриса треугольника AD делит высоту CH.

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в C, где известно, что AB = 6,25 и AC = 5, начнем с нахождения длины стороны BC, используя теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике:

$AB^2 = AC^2 + BC^2.$

Подставим известные значения:

$6,25^2 = 5^2 + BC^2,$

$39,0625 = 25 + BC^2,$

$BC^2 = 39,0625 - 25 = 14,0625.$

Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

$BC = \sqrt{14,0625} = 3,75.$

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника:

• AB = 6,25,
• AC = 5,
• BC = 3,75.

Далее, найдем координаты вершин треугольника ABC. Пусть точка C находится в начале координат (0,0), точка A будет на оси Y (0, 5), а точка B будет на оси X (3,75, 0).

Теперь определим высоту CH. Высота из вершины C перпендикулярна к стороне AB. Поскольку AB является гипотенузой, мы можем найти его уравнение. Угловой коэффициент (k) линии AB, которая соединяет точки A (0, 5) и B (3,75, 0), можно вычислить по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 5}{3,75 - 0} = -\frac{5}{3,75} = -\frac{4}{3}.$

Уравнение прямой AB в общем виде:

$y - y_1 = k(x - x_1) \Rightarrow y - 5 = -\frac{4}{3}(x - 0)$

или

$y = -\frac{4}{3}x + 5.$

Теперь найдем высоту CH, которая будет перпендикулярна к AB. Угловой коэффициент высоты (h) будет обратным и противоположным:

$h = \frac{3}{4}.$

Уравнение высоты CH будет:

$y - 0 = \frac{3}{4}(x - 0) \Rightarrow y = \frac{3}{4}x.$

Теперь находим точку пересечения высоты CH и стороны AB, приравняв уравнения:

$-\frac{4}{3}x + 5 = \frac{3}{4}x.$

Умножим обе стороны уравнения на 12 (наименьшее общее кратное):

$-16x + 60 = 9x.$

Теперь решим уравнение:

$60 = 25x,$ $x = \frac{60}{25} = 2,4.$

Теперь подставим значение x в уравнение высоты для нахождения y:

$y = \frac{3}{4} \cdot 2,4 = 1,8.$

Таким образом, точка H (пересечения высоты CH и стороны AB) имеет координаты (2,4; 1,8).

Теперь перейдем к биссектрисе AD. Она делит угол A между сторонами AC и AB. Воспользуемся теоремой о биссектрисе, которая гласит, что биссектрисы делят противоположную сторону в отношении длины прилегающих сторон. В данном случае, это означает, что:

$\frac{BH}{AH} = \frac{AC}{BC}.$

Длина AC равна 5, а длина BC равна 3,75, значит:

$\frac{BH}{AH} = \frac{5}{3,75} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}.$

Следовательно, биссектрисы треугольника делят высоту CH в отношении 4:3.