Через середину M стороны AB треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC. Эта прямая пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что AN = NC.

Решение.

Пусть в треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, то есть

Через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$. Эта прямая пересекает сторону $AC$ в точке $N$. Нужно доказать, что $AN = NC$, то есть точка $N$ — середина отрезка $AC$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$

Заметим следующее:

• У них общий угол при вершине $A$:

  $$\angle MAN = \angle BAC.$$

• Прямая $MN$ параллельна прямой $BC$ по условию. Тогда углы при $M$ и $B$ равны как соответственные:

  $$\angle AMN = \angle ABC.$$

Значит, треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$ подобны по двум углам.

2. Запишем отношение соответствующих сторон

Из подобия треугольников $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ получаем:

Нас интересует отношение $\dfrac{AN}{AC}$.

3. Используем, что $M$ — середина $AB$

По условию $M$ — середина стороны $AB$, значит:

Тогда из равенства

получаем:

Отсюда:

То есть отрезок $AN$ равен половине всего отрезка $AC$.

4. Завершающий шаг

Если $AN = \dfrac{AC}{2}$, то:

Получаем:

Значит, точка $N$ делит сторону $AC$ пополам, то есть она середина отрезка $AC$.

Что и требовалось доказать.