Две плоскости параллельны одной прямой. Параллельны ли они между собой?

Кратко: нет, из того, что две плоскости параллельны одной и той же прямой, не следует, что они параллельны между собой. Они могут пересекаться.

Разберём аккуратно.

1. Что значит «плоскость параллельна прямой»

В школьной геометрии обычно говорят:

• Прямая параллельна плоскости, если у них нет общих точек.

• Если прямая целиком лежит в плоскости, говорят, что она лежит в плоскости, а не «параллельна» ей.

Значит, у нас есть прямая $l$ и две плоскости $\alpha$ и $\beta$, такие что:

• $l \parallel \alpha$

• $l \parallel \beta$

То есть прямая $l$ не пересекает ни одну из этих плоскостей.

2. Интуитивный пример в пространстве

Представим трёхмерное пространство с осями $x, y, z$.

Возьмём прямую $l$ – пусть это ось $Oz$:
все точки вида $(0, 0, z)$.

Теперь зададим две плоскости:

• Плоскость $\alpha: x = 1$
  Все точки $(1, y, z)$.

• Плоскость $\beta: y = 1$
  Все точки $(x, 1, z)$.

Что получается:

1. Прямая $l$ имеет координаты $(0,0,z)$.

   • В плоскость $\alpha$ попасть можно только если $x = 1$, а у прямой $l$ всегда $x = 0$. Значит, общих точек нет ⇒ $l \parallel \alpha$.

   • В плоскость $\beta$ попасть можно только если $y = 1$, а у прямой $l$ всегда $y = 0$. Опять нет общих точек ⇒ $l \parallel \beta$.

То есть обе плоскости параллельны одной и той же прямой $l$.

Теперь посмотрим, как связаны между собой $\alpha$ и $\beta$:

• Плоскость $\alpha: x = 1$

• Плоскость $\beta: y = 1$

Если одновременно выполняется $x = 1$ и $y = 1$, получаем их линию пересечения:

То есть это прямая $(1,1,z)$ — обычная прямая, параллельная оси $Oz$.

Значит, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой, то есть они не параллельны.

Но при этом каждая из них по-отдельности параллельна одной и той же прямой $l$.

3. Общий вывод

Из того, что две плоскости параллельны одной и той же прямой, возможны варианты:

1. Плоскости параллельны друг другу (и тогда никакой общей точки нет).

2. Плоскости пересекаются по прямой, причём эта прямая будет параллельна данной прямой $l$.

3. В частном случае плоскости могут даже совпадать (это тоже формально возможно).

Но само по себе условие «обе плоскости параллельны одной прямой» не гарантирует, что они параллельны между собой.

Ответ: нет, не обязательно.