Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите стороны треугольника.

Раз внешние углы треугольника при двух разных вершинах равны, разберёмся сначала с углами, а потом с сторонами.

1. Связь внешнего и внутреннего угла

   Внешний угол при вершине треугольника образуется продолжением одной из сторон. Он дополняет внутренний угол до $180^\circ$, то есть:

   $$\text{внешний угол} = 180^\circ - \text{внутренний угол}.$$

   Пусть внешние углы при вершинах $A$ и $B$ равны:

   $$\angle A_{внеш} = \angle B_{внеш}.$$

   Тогда:

   $$180^\circ - \angle A = 180^\circ - \angle B \Rightarrow \angle A = \angle B.$$

   Значит, два внутренних угла треугольника равны, а значит, треугольник — равнобедренный.

2. Какие стороны равны

   В треугольнике, где $\angle A = \angle B$, напротив этих углов лежат равные стороны:

   $$a = BC,\quad b = AC,\quad c = AB.$$

   Если $\angle A = \angle B$, то напротив них равны стороны $BC$ и $AC$. То есть треугольник равнобедренный с двумя равными сторонами.

3. Используем периметр

   Пусть стороны треугольника — $x, x, y$, где $x$ — длина двух равных сторон, $y$ — основание.

   По условию периметр равен 74 см:

   $$2x + y = 74.$$

   Также по условию одна из сторон равна 16 см. Возможны два случая:

   Случай 1: основание равно 16 см.

   Тогда $y = 16$, а равные стороны — $x$:

   $$2x + 16 = 74 \Rightarrow 2x = 58 \Rightarrow x = 29.$$

   Получаем треугольник со сторонами:

   $$29,\ 29,\ 16.$$

   Проверим неравенство треугольника:

   • $29 + 29 > 16$ — верно;

   • $29 + 16 > 29$ — верно;

   • $29 + 16 > 29$ — верно.

   Всё подходит.

   Случай 2: одна из равных сторон равна 16 см.

   Тогда $x = 16$, а основание $y$:

   $$2 \cdot 16 + y = 74 \Rightarrow 32 + y = 74 \Rightarrow y = 42.$$

   Стороны были бы: $16,\ 16,\ 42$.

   Проверим неравенство треугольника:

   $$16 + 16 > 42 \Rightarrow 32 > 42,$$

   что неверно. Значит, такого треугольника не существует.

4. Вывод

   Единственный возможный треугольник, удовлетворяющий всем условиям задачи, имеет стороны:

   $$\boxed{29\ \text{см},\ 29\ \text{см},\ 16\ \text{см}}.$$