В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна \( c \), а один из острых углов \( \beta \). Выразите через \( c \) и \( \beta \) биссектрису второго острого угла.

Сделаю подробное решение «как на сайте вопросов и ответов».

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, причём:

• $\angle C = 90^\circ$,

• гипотенуза $AB = c$,

• один из острых углов, скажем $\angle B = \beta$,

• тогда второй острый угол $\angle A = 90^\circ - \beta$.

Нам нужно выразить через $c$ и $\beta$ длину биссектрисы угла $\angle A$.

1. Выразим стороны треугольника через $c$ и $\beta$

Возьмём треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB = c$. Тогда:

• Сторона, противолежащая углу $\beta = \angle B$, — это $AC$.

• Сторона, противолежащая углу $\angle A = 90^\circ - \beta$, — это $BC$.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

Аналогично:

Итак:

2. Формула биссектрисы угла треугольника

Нам нужна биссектриса угла $\angle A$.
Для треугольника со сторонами $a, b, c$ (где $a$ — сторона, противолежащая углу $A$, а $b$ и $c$ — прилегающие к $A$ стороны) длина внутренней биссектрисы $l_a$ выражается формулой:

Применим её к нашему треугольнику.

У нас:

• угол $A$ — это $\angle A$;

• сторона, противолежащая углу $\angle A$, — это $BC = c\cos\beta$;

• прилегающие к углу $\angle A$ стороны — это:

  • $AB = c$,

  • $AC = c\sin\beta$.

Итак, в обозначения формулы подставляем:

Чтобы не путать с исходной гипотенузой $c$, в формуле будем понимать:

• $b = c\sin\beta$,

• $c_1 = c$,

• $a = c\cos\beta$.

Тогда:

Вынесем $c^2$: