Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, меньшая диагональ которого равна 12 см.

Решу по шагам.

Дан правильный шестиугольник. Известно, что его меньшая диагональ равна 12 см. Нужно найти радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник (то есть его апофему, расстояние от центра до стороны).

1. Связь сторон и диагоналей в правильном шестиугольнике

Обозначу сторону шестиугольника за $a$.

В правильном шестиугольнике есть:

• сторона: $a$;

• меньшая диагональ — это отрезок, соединяющий вершины через одну (между ними одна вершина);

• большая диагональ — соединяющая противоположные вершины.

Из геометрии правильного шестиугольника:

• меньшая диагональ равна $\sqrt{3}\,a$;

• большая диагональ равна $2a$.

По условию задачи:

Отсюда находим сторону:

2. Радиус вписанной окружности (апофема)

Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников со стороной $a$.

Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна:

Эта высота и есть расстояние от центра шестиугольника до его стороны — то есть радиус вписанной окружности $r$.

Подставим $a = 4\sqrt{3}$:

Ответ: радиус вписанной окружности равен 6 см.