Даны 2 параллельные плоскости и не лежащая между ними точка P. Две прямые, проходящие через точку P, пересекают ближнюю к точке Р плоскость в точках А1 и А2, а дальнюю - в точках В1 и В2 соответственно. Найдите длину отрезка В1В2, если А1А2 = 6 см и РА1 : А1В1 = 3:2

Рассмотрим задачу с геометрической точки зрения.

Итак, у нас есть две параллельные плоскости. Назовем ближнюю к точке $P$ плоскость $\alpha$, а дальнюю — плоскость $\beta$. Через точку $P$ проведены две прямые, которые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A_1$ и $A_2$, а плоскость $\beta$ — в точках $B_1$ и $B_2$. Нам нужно найти длину отрезка $B_1B_2$, если известно, что длина отрезка $A_1A_2$ равна 6 см, а отношение $PA_1 : A_1B_1 = 3:2$.

Шаг 1: Понимание задачи

Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, все отрезки, соединяющие точки $A_i$ с соответствующими точками $B_i$, будут перпендикулярны этим плоскостям. Следовательно, треугольники $PA_1B_1$ и $PA_2B_2$ будут подобны. Это позволяет использовать свойства подобия треугольников для решения задачи.

Шаг 2: Анализ подобия треугольников

Пусть $PA_1 = 3x$, а $A_1B_1 = 2x$, согласно данному в задаче отношению $PA_1 : A_1B_1 = 3:2$. Тогда полный отрезок $PB_1$ будет равен $PA_1 + A_1B_1 = 3x + 2x = 5x$.

Аналогично для второй прямой: $PA_2$ будет также равно $3x$, а $A_2B_2 = 2x$, поскольку эти прямые проходят через точку $P$, и отношения отрезков на первой и второй прямой одинаковы.

Шаг 3: Пропорциональность отрезков

Теперь применим свойство подобия треугольников. Треугольники $A_1A_2$ и $B_1B_2$ подобны, так как прямые, пересекающие параллельные плоскости, сохраняют пропорции. Коэффициент подобия между треугольниками равен отношению отрезков на одной из прямых. В нашем случае это $\frac{PA_1}{PB_1} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$.

Таким образом, длина отрезка $B_1B_2$ будет пропорциональна длине отрезка $A_1A_2$ с коэффициентом $\frac{5}{3}$. Поскольку $A_1A_2 = 6$ см, то

Ответ:

Длина отрезка $B_1B_2$ равна 10 см.