Одна сторона прямоугольника видна из середины его противоположной стороны под углом 90 ∘. Найдите меньшую сторону этого прямоугольника, если его периметр равен 24.

Дано, что одна сторона прямоугольника видна из середины противоположной стороны под углом 90°, и периметр прямоугольника равен 24. Требуется найти меньшую сторону прямоугольника.

Обозначения:

Пусть стороны прямоугольника будут $a$ и $b$, где $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая сторона.

Периметр прямоугольника дается формулой:

Отсюда, подставляя известный периметр, получаем:

Теперь важно учесть условие задачи, что одна сторона видна под углом 90° из середины противоположной стороны.

Если рассматривать прямоугольник, то из середины одной из его сторон противоположная сторона будет казаться под углом 90°, если выполняется теорема Пифагора для треугольника, где одна сторона прямоугольника — гипотенуза. Это связано с тем, что диагональ, проведенная из середины одной из сторон, будет равна половине противоположной стороны.

В данном случае речь идет о том, что прямоугольный треугольник с катетами $a/2$ и $b$ и гипотенузой $a$ удовлетворяет теореме Пифагора:

Раскроем скобки:

Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей:

Переносим $a^2$ в правую часть:

Теперь выразим $b$ через $a$:

Теперь используем выражение для периметра:

Подставляем $b$:

Приведем к общему знаменателю:

Умножим на 2:

Вынесем $a$ за скобку:

Найдем $a$:

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2 - \sqrt{3}$:

Таким образом, мы выразили $a$, а $b$ также можем найти через данное уравнение.