Треугольник со сторонами 13, 14 и 15 вписан в диаметральное сечение шара. Найди радиус шара.

Ответы на вопрос

Отвечает Игнатьев Алексей.

Треугольник со сторонами 13, 14 и 15 вписан в диаметральное сечение шара. Диаметральное сечение шара — это окружность, центр которой совпадает с центром шара, а радиус равен радиусу шара. Если треугольник вписан в это сечение, его вершины лежат на этой окружности, значит, окружность описана вокруг треугольника, а её радиус и есть радиус шара.

То есть задача сводится к нахождению радиуса описанной окружности $R$ вокруг треугольника со сторонами 13, 14 и 15.

1. Площадь треугольника (формула Герона)

Сначала найдём полупериметр:

s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21.

По формуле Герона площадь:

S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},

где $a=13$ , $b=14$ , $c=15$ .

Подставляем:

S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21\cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}.

Посчитаем подкоренное выражение:

21 \cdot 8 = 168,\quad 7 \cdot 6 = 42,

168 \cdot 42 = 7056.

S = \sqrt{7056}.

Заметим, что $84^2 = 7056$ , значит:

S = 84.

2. Радиус описанной окружности

Радиус $R$ описанной окружности вокруг треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S$ выражается формулой:

R = \frac{abc}{4S}.

Подставляем $a=13$ , $b=14$ , $c=15$ , $S=84$ :

Сначала числитель:

abc = 13 \cdot 14 \cdot 15.

13 \cdot 14 = 182,\quad 182 \cdot 15 = 2730.

Знаменатель:

4S = 4 \cdot 84 = 336.

Значит:

R = \frac{2730}{336}.

Сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на 6:

2730 \div 6 = 455,\quad 336 \div 6 = 56.

Получаем:

R = \frac{455}{56}.

Разложим числитель и знаменатель:

455 = 5 \cdot 7 \cdot 13,\quad 56 = 7 \cdot 8.

Сокращаем на 7:

R = \frac{5 \cdot 13}{8} = \frac{65}{8}.

3. Ответ

Радиус описанной окружности равен $\dfrac{65}{8}$ . Поскольку эта окружность является диаметральным сечением шара, её радиус равен радиусу шара.

\boxed{R = \frac{65}{8}}

То есть радиус шара равен $\dfrac{65}{8}$ (или $8{,}125$ ).

Последние заданные вопросы в категории Геометрия