отрезки AC и BD делятся точкой O пополам. Докажите, что AB || CD.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO=OC$ и $BO=OD$. Докажем, что $AB\parallel CD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

• По условию $AO=OC$ (точка $O$ — середина $AC$).

• По условию $BO=OD$ (точка $O$ — середина $BD$).

• Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ — вертикальные, значит равны.

Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ равны по признаку $\text{SAS}$ (две стороны и угол между ними).

Из равенства треугольников получаем равенство соответствующих углов:

Но $\angle ABO$ и $\angle CDO$ — это внутренние накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$ (или $AC$). Их равенство означает, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны:

(Эквивалентно, можно заметить векторно: $\vec{AB}=\vec{AO}+\vec{OB}=-(\vec{OC}+\vec{OD})=-\vec{CD}$, откуда $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены противоположно, значит $AB\parallel CD$.)