Отрезки АС и ВD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что треугольники АВС и СDА равны.

Для доказательства того, что треугольники $ABC$ и $CDA$ равны, воспользуемся следующими шагами.

1. Дано:

   • Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, и эта точка делит их пополам, то есть $AP = PC$ и $BP = PD$.

2. Цель:

   • Нужно доказать, что треугольники $ABC$ и $CDA$ равны, то есть, что $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

3. Шаг 1. Рассмотрим два треугольника:

   • Треугольник $ABC$.

   • Треугольник $CDA$.

4. Шаг 2. Применим критерий равенства треугольников по трем сторонам (SSS):

   • Мы знаем, что отрезки $AP = PC$ и $BP = PD$, то есть, точка пересечения делит отрезки пополам. Это значит, что:

     • $AC = CA$ (одинаковые отрезки).

     • $AB = AD$ (так как $P$ — середина и делит отрезок пополам).

5. Шаг 3. Сравниваем углы:

   • Углы $\angle ABC$ и $\angle CDA$ равны, так как они образованы пересекающимися прямыми.

   • Таким образом, по условию задачи можно заключить, что углы при вершинах $A$ и $C$ равны.

6. Шаг 4. Теперь, зная, что соответствующие стороны и углы одинаковы, можем утверждать, что треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по критерию равенства треугольников по сторонам и углам (SSS).

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.