Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними 120 градусов. Нужно найти третью сторону треугольника и его площадь.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов и формулу площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними.

1. Найдем третью сторону треугольника с помощью теоремы косинусов. Теорема косинусов гласит: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$, где $a$ и $b$ - известные стороны, $C$ - угол между ними, а $c$ - сторона, которую мы хотим найти. В данном случае, $a = 10$ см, $b = 12$ см, и угол $C = 120$ градусов. Сначала переведем градусы в радианы: $120$ градусов равно $\frac{2\pi}{3}$ радиан. Теперь подставим значения в формулу:

$c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

Рассчитаем значение $c$.

2. Найдем площадь треугольника. Формула площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin(C)$. Подставим наши значения $a = 10$ см, $b = 12$ см, и $C = \frac{2\pi}{3}$ радиан в формулу и рассчитаем площадь.

Сначала рассчитаем длину третьей стороны $c$, а затем площадь $S$.

Третья сторона треугольника имеет длину приблизительно 19.08 см. Площадь этого треугольника составляет примерно 51.96 квадратных сантиметров. ​​