Прямая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек А и В в разные полуплоскости проведены равные отрезки АD и ВС, причём ∠ВАD = ∠АВС. Какие из высказываний верные? а) ΔСАD = ΔВDА; б) ∠DВА = ∠САВ; в) ∠ВАD = ∠ВАС; г) ∠АDВ = ∠ВСА.

Верны только б) и г).
А теперь подробно, почему.

1. Ключевая идея — центральная симметрия

Обозначим через $M$ середину отрезка $AB$.

Рассмотрим поворот (центральную симметрию) на $180^\circ$ вокруг точки $M$.
Этот поворот:

• переводит точку $A$ в точку $B$ и наоборот;

• сохраняет длины и углы;

• переводит лучи и отрезки в параллельные им.

Обозначим через $C_1$ образ точки $D$ при этом повороте. Тогда:

• $AD$ переходит в $BC_1$, значит

  $$AD = BC_1,$$

• угол $\angle BAD$ переходит в угол $\angle ABC_1$, значит

  $$\angle BAD = \angle ABC_1.$$

Но по условию задачи у нас уже есть

и при этом точка $C$ лежит в другой полуплоскости относительно прямой $AB$, чем точка $D$.

Из точки $B$ в «нужную» полуплоскость можно отложить ровно один луч, образующий с $BA$ угол $\angle ABC = \angle BAD$. На этом луче на расстоянии $AD$ от $B$ тоже ровно одна точка.

Итак, точки $C$ и $C_1$:

• лежат на одном и том же луче из $B$;

• находятся на одинаковом расстоянии от $B$ (так как $BC = AD = BC_1$).

Значит, $C_1$ и $C$ совпадают, то есть поворот на $180^\circ$ вокруг середины $AB$ переводит $D$ в $C$.

Отсюда два важных вывода:

• чётвёрка точек $A, B, C, D$ обладает центральной симметрией относительно точки $M$;

• следовательно, $ABCD$ — параллелограмм:

  $$AB \parallel CD,\quad AD \parallel BC,$$

  а диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам.

Все дальнейшие рассуждения удобно вести, опираясь на то, что $ABCD$ — параллелограмм.

2. Проверяем высказывания

а) $\Delta CAD = \Delta BDA$

Говорится, что треугольники $CAD$ и $BDA$ равны.

В параллелограмме вообще верно:

• $AD = BC$,

• $AB = CD$,
  но диагонали $AC$ и $BD$ в общем случае не равны.

Если бы треугольники $CAD$ и $BDA$ были равны, то какие-то их стороны должны были совпасть попарно. При любом разумном сопоставлении вершин мы неминуемо получаем требование равенства диагоналей $AC$ и $BD$, а это для произвольного параллелограмма неверно (например, в прямоугольнике диагонали равны, а в вытянутом параллелограмме — нет).

Раз задача не накладывает дополнительных ограничений (типа «ABCD — прямоугольник» или «ромб»), то в общем случае
треугольники $CAD$ и $BDA$ не равны.

Значит, а) — неверно.

б) $\angle DBA = \angle CAB$

Рассмотрим наш поворот на $180^\circ$ вокруг середины $AB$.

• Точка $B$ переходит в $A$,

• точка $D$ переходит в $C$,

• точка $A$ переходит в $B$.

Следовательно, угол $\angle DBA$ (между лучами $BD$ и $BA$ с вершиной в $B$) поворот переводит в угол между лучами $AC$ и $AB$ с вершиной в $A$, то есть в угол $\angle CAB$.

Поворот сохраняет величину угла, значит:

Отсюда высказывание б) — верно.

в) $\angle BAD = \angle BAC$

Мы уже знаем:

• по условию: $\angle BAD = \angle ABC$;

• по построению (через поворот): $\angle BAD$ переходит именно в $\angle ABC$, а не в $\angle BAC$.

Чтобы было верно $\angle BAD = \angle BAC$, нужно было бы, чтобы из вершины $A$ луч $AD$ совпал с лучом $AC$. Но это невозможно, потому что тогда точки $D$ и $C$ лежали бы по одну сторону от прямой $AB$