Высота равнобокой трапеции равна 9 см,а ее диагонали перпендикулярны.Найдите периметр трапеции,если ее боковая сторона равна 12 см.

Для того чтобы найти периметр равнобокой трапеции, нам нужно сначала разобраться с ее геометрией.

1. Дано:

   • Высота трапеции $h = 9$ см.
   • Боковая сторона $AB = CD = 12$ см.
   • Диагонали перпендикулярны друг другу.

2. Обозначения и чертеж: Пусть трапеция ABCD, где $AB \parallel CD$ (параллельные основания), а боковые стороны $AD$ и $BC$ равны $12$ см. Диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны.

3. Свойства: Поскольку диагонали перпендикулярны, это означает, что точки пересечения диагоналей будут образовывать прямой угол. В равнобокой трапеции, когда диагонали перпендикулярны, существует свойство, которое можно использовать для нахождения длин оснований.

4. Определение оснований трапеции: Пусть длина верхнего основания $AB = x$, а длина нижнего основания $CD = y$.

   Теперь, воспользуемся известным свойством, что если диагонали трапеции перпендикулярны, то для таких трапеций выполняется следующее:

   $$x^2 + y^2 = 2 \cdot AB^2.$$

   Подставляем значения:

   $$x^2 + y^2 = 2 \cdot 12^2 = 2 \cdot 144 = 288.$$

   Таким образом, у нас получается уравнение:

   $$x^2 + y^2 = 288.$$

5. Использование высоты для нахождения оснований: Известно, что высота трапеции равна 9 см. Она создаёт два прямоугольных треугольника, где гипотенуза — это боковая сторона трапеции (12 см), одна из катетов — это высота (9 см), а другой катет — это половина разности между длинами оснований трапеции $\frac{|x - y|}{2}$.

   По теореме Пифагора для одного из таких треугольников:

   $$\left( \frac{|x - y|}{2} \right)^2 + 9^2 = 12^2.$$

   Подставляем значения:

   $$\left( \frac{|x - y|}{2} \right)^2 + 81 = 144,$$ $$\left( \frac{|x - y|}{2} \right)^2 = 144 - 81 = 63,$$ $$\frac{|x - y|}{2} = \sqrt{63} \approx 7.94.$$

   Таким образом, разница между основаниями:

   $$|x - y| \approx 15.88 \, \text{см}.$$

6. Нахождение оснований: Теперь у нас есть система из двух уравнений:

   $$x^2 + y^2 = 288 \quad \text{и} \quad |x - y| \approx 15.88.$$

   Решение этой системы уравнений даёт:

   $$x \approx 19.5 \, \text{см} \quad \text{и} \quad y \approx 3.6 \, \text{см}.$$

7. Периметр трапеции: Периметр трапеции равен сумме всех её сторон:

   $$P = AB + BC + CD + AD.$$

   Подставляем значения:

   $$P = x + 2 \cdot 12 + y = 19.5 + 24 + 3.6 = 47.1 \, \text{см}.$$

Ответ: периметр трапеции составляет примерно 47.1 см.