Сторона квадрата АВСD равна 1 см. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости квадрата, угол АВМ = 30. Найдите расстояние от точки М до прямой ВD

Рассмотрим задачу: нам нужно найти расстояние от точки $M$ до прямой $BD$ в трехмерном пространстве. Для этого сначала проанализируем данное и разберемся, как расположена точка $M$ относительно квадрата $ABCD$.

Дано:

• $ABCD$ — квадрат, сторона которого равна 1 см.
• $AM$ — отрезок, перпендикулярный плоскости квадрата.
• Угол $ABM = 30^\circ$.

Шаг 1: Найдем координаты точек квадрата

Расположим квадрат $ABCD$ на плоскости $xy$:

• Пусть $A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $C(1, 1, 0)$, и $D(0, 1, 0)$.
• Так как $AM$ перпендикулярен плоскости квадрата, точка $M$ будет находиться на прямой, проходящей через $A$ и перпендикулярной этой плоскости.

Шаг 2: Найдем высоту $AM$

Условие задачи гласит, что угол $ABM = 30^\circ$. Этот угол формируется между прямыми $AB$ и $AM$. Вспомним, что если $\angle ABM = 30^\circ$, то длину $AM$ можно найти через тригонометрическую функцию тангенса:

Подставим значения:

Поскольку $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

Теперь мы знаем, что $M$ имеет координаты $\left(0, 0, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

Шаг 3: Найдем расстояние от точки $M$ до прямой $BD$

Теперь нам нужно найти расстояние от точки $M(0, 0, \frac{1}{\sqrt{3}})$ до прямой $BD$.

Прямая $BD$ лежит в плоскости квадрата $ABCD$, и её можно описать как совокупность точек, линейно зависящих от координат $B$ и $D$. Вектор направления для $BD$ будет равен $\overrightarrow{BD} = (-1, 1, 0)$.

Формула расстояния от точки $M(x_1, y_1, z_1)$ до прямой, заданной точкой $P(x_0, y_0, z_0)$ и направляющим вектором $\vec{d} = (a, b, c)$, выглядит так:

1. Вектор $\overrightarrow{BM} = (0 - 1, 0 - 0, \frac{1}{\sqrt{3}} - 0) = (-1, 0, \frac{1}{\sqrt{3}})$.
2. Векторное произведение $\overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{BD}$