От точки C на окружности хорда AB видна под углом 159° . Вычисли градусную меру дуги AB и дуги ACB.

Давайте решим задачу о дугах окружности с использованием некоторых геометрических свойств.

Условие задачи

Дано, что хорда $AB$ окружности видна из точки $C$ на окружности под углом $\angle ACB = 159^\circ$. Требуется найти градусную меру дуги $AB$ и дуги $ACB$.

Решение

1. Определим градусную меру дуги $AB$:

   • Согласно теореме об угле, вписанном в окружность, угол между хордами (в данном случае $\angle ACB$) равен половине градусной меры дуги, которую он опирается.
   • Обозначим дугу, на которую опирается угол $\angle ACB$, как $\overset{\frown}{AB}$.
   • Таким образом, угол $\angle ACB$ составляет половину дуги $\overset{\frown}{AB}$: $$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{AB}$$
   • Подставим значение угла $\angle ACB = 159^\circ$: $$159^\circ = \frac{1}{2} \cdot \overset{\frown}{AB}$$
   • Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы найти дугу $\overset{\frown}{AB}$: $$\overset{\frown}{AB} = 2 \cdot 159^\circ = 318^\circ$$

   Значит, дуга $AB$ имеет градусную меру $318^\circ$.

2. Определим градусную меру дуги $ACB$:

   • Окружность имеет полную меру $360^\circ$.
   • Дуга $ACB$ — это оставшаяся часть окружности, которую не покрывает дуга $AB$.
   • Таким образом, градусная мера дуги $ACB$ равна разности $360^\circ$ и дуги $AB$: $$\overset{\frown}{ACB} = 360^\circ - \overset{\frown}{AB}$$
   • Подставим значение дуги $AB = 318^\circ$: $$\overset{\frown}{ACB} = 360^\circ - 318^\circ = 42^\circ$$

Ответ

• Градусная мера дуги $AB$ равна $318^\circ$.
• Градусная мера дуги $ACB$ равна $42^\circ$.