1. Параллельные прямые AB и CD пересекаются с прямой EF в точках M и N соответственно. Угол AMN на 30˚ больше угла CNM. Найдите все образовавшиеся углы.
2. Отрезок DM - биссектриса треугольника CDE. Через точку M проведена прямая, пересекающая сторону DE в точке N так, что DN=MN. Найдите углы треугольника DMN, если угол CDE=74˚.

Рассмотрим оба вопроса подробно:

Задача 1

У нас есть две параллельные прямые $AB$ и $CD$, которые пересекаются с прямой $EF$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Требуется найти все углы, зная, что угол $\angle AMN$ на $30^\circ$ больше угла $\angle CNM$.

1. Обозначим угол $\angle CNM$ за $x$: Тогда, по условию, угол $\angle AMN = x + 30^\circ$.

2. Используем свойство внутренних односторонних углов: Так как прямые $AB$ и $CD$ параллельны, то углы $\angle AMN$ и $\angle CNM$ являются внутренними односторонними углами. Сумма внутренних односторонних углов при пересечении параллельных прямых одной и той же секущей всегда равна $180^\circ$:

   $$\angle AMN + \angle CNM = 180^\circ$$

3. Составляем уравнение: Подставим значения углов:

   $$(x + 30^\circ) + x = 180^\circ$$

   Решаем уравнение:

   $$2x + 30^\circ = 180^\circ$$ $$2x = 150^\circ$$ $$x = 75^\circ$$

4. Находим угол $\angle AMN$:

   $$\angle AMN = x + 30^\circ = 75^\circ + 30^\circ = 105^\circ$$

Таким образом, углы:

• $\angle CNM = 75^\circ$
• $\angle AMN = 105^\circ$

Дополнительно, поскольку $\angle AMN$ и $\angle CNM$ составляют пару внутренних односторонних углов, то остальные углы, которые образуются на секущей $EF$ с прямыми $AB$ и $CD$, будут равны $75^\circ$ и $105^\circ$ соответственно.

Задача 2

Дана биссектриса $DM$ треугольника $CDE$, и через точку $M$ проведена прямая, пересекающая сторону $DE$ в точке $N$ так, что $DN = MN$. Известно, что угол $\angle CDE = 74^\circ$. Требуется найти углы треугольника $DMN$.

1. Рассмотрим свойства биссектрисы и равнобедренного треугольника: Поскольку $DM$ — это биссектриса, она делит угол $\angle CDE$ пополам:

   $$\angle CDM = \angle MDE = \frac{\angle CDE}{2} = \frac{74^\circ}{2} = 37^\circ$$

2. Анализируем треугольник $DMN$: По условию, отрезок $DN = MN$, то есть треугольник $DMN$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть угол $\angle DMN = \alpha$. Тогда:

   $$\angle MDN = \alpha$$

3. Используем сумму углов в треугольнике $DMN$: Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

   $$\angle DMN + \angle MDN + \angle DNM = 180^\circ$$

   Подставим известные значения:

   $$\alpha + \alpha + 37^\circ = 180^\circ$$ $$2\alpha = 143^\circ$$ $$\alpha = 71.5^\circ$$

Таким образом, углы треугольника $DMN$:

• $\angle DMN = 71.5^\circ$
• $\angle MDN = 71.5^\circ$
• $\angle DNM = 37^\circ$

Итак, ответы для каждой задачи:

1. Для первой задачи углы: $75^\circ$ и $105^\circ$.
2. Для второй задачи углы треугольника $DMN$: $71.5^\circ$, $71.5^\circ$, и $37^\circ$.