ABCD - квадрат, BE перпендикулярно (ABC), угол EAB равен 45 градусам, Sabcd = 4. Найдите S△AEC.

Для того чтобы найти площадь треугольника $S_{\triangle AEC}$, рассмотрим все данные и шаги, которые помогут нам решить задачу.

1. Исходные данные:

   • ABCD — квадрат, то есть все его стороны равны.

   • $S_{ABCD} = 4$, где $S_{ABCD}$ — площадь квадрата. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны, поэтому длина стороны квадрата $a$ равна $\sqrt{4} = 2$.

   • $BE$ перпендикулярно стороне $AB$, то есть $\angle ABE = 90^\circ$.

   • $\angle EAB = 45^\circ$.

2. Расположение точек и геометрия:
   Площадь квадрата ABCD можно представить следующим образом:

   • $A(0, 0)$,

   • $B(2, 0)$,

   • $C(2, 2)$,

   • $D(0, 2)$.

   Поскольку $BE$ перпендикулярно стороне $AB$, то точка $E$ лежит на прямой, перпендикулярной $AB$, и также будет находиться на вертикальной линии через точку $B$. Таким образом, координаты точки $E$ будут $(2, h)$, где $h$ — неизвестная высота, которую мы сейчас найдем.

3. Нахождение высоты $h$:
   Из условия задачи известно, что угол $\angle EAB = 45^\circ$. В треугольнике $ABE$ угол $\angle EAB$ равен 45 градусам, значит, треугольник $ABE$ является прямоугольным и равнобедренным (поскольку угол при вершине $A$ равен 45 градусам). Это означает, что длина отрезка $AE$ равна длине отрезка $BE$.

   Так как длина отрезка $AB = 2$, и в треугольнике $ABE$ два катета равны, то высота $h$ будет равна 2. Таким образом, координаты точки $E$ — это $(2, 2)$.

4. Нахождение площади треугольника $\triangle AEC$:
   Теперь у нас есть все необходимые координаты:

   • $A(0, 0)$,

   • $E(2, 2)$,

   • $C(2, 2)$.

   Площадь треугольника можно найти по формуле для площади треугольника, если известны координаты его вершин:

   $$S_{\triangle AEC} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$

   Подставляем координаты точек $A(0, 0)$, $E(2, 2)$, $C(2, 2)$:

   $$S_{\triangle AEC} = \frac{1}{2} \left| 0(2 - 2) + 2(2 - 0) + 2(0 - 2) \right|$$ $$S_{\triangle AEC} = \frac{1}{2} \left| 0 + 4 - 4 \right| = \frac{1}{2} \times 0 = 0$$

   Это означает, что треугольник $\triangle AEC$ вырожденный, так как все три точки совпадают на прямой.

Таким образом, площадь треугольника $S_{\triangle AEC}$ равна 0.