ABCD-прямоугольник, M не лежит (ABC), угол MBC=90. Доказать AD перпендикулярно AM.

Решение.

1. В прямоугольнике $ABCD$ имеем $AB\perp BC$ и $AD\parallel BC$. Из $AB\perp BC$ и $AD\parallel BC$ сразу следует

2. По условию $\angle MBC=90^\circ$, то есть $MB\perp BC$. Так как $AD\parallel BC$, то

3. Рассмотрим плоскость $(ABM)$. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые $AB$ и $MB$, и обе они перпендикулярны прямой $AD$ (см. пункты 1–2). Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

4. Так как $A\in (ABM)$ и прямая $AM$ лежит в плоскости $(ABM)$, то из $AD\perp (ABM)$ получаем

Что и требовалось доказать.