Прямая a пересекает плоскость β в точке C, и образует с плоскостью угол 30°.
P∈a, точка R - проекция точки P на плоскость β. PC=16 см. Найди PR.

Рассмотрим данную задачу с точки зрения геометрии и тригонометрии.

Итак, у нас есть прямая $a$, которая пересекает плоскость $\beta$ в точке $C$. Угол между прямой $a$ и плоскостью $\beta$ составляет $30^\circ$. На прямой $a$ находится точка $P$, а точка $R$ является проекцией точки $P$ на плоскость $\beta$. Нам известно, что расстояние $PC = 16$ см, и требуется найти длину отрезка $PR$.

Пошаговый разбор:

1. Понимание задачи:

   • Так как угол между прямой $a$ и плоскостью $\beta$ равен $30^\circ$, это означает, что угол между отрезком $PC$ и его проекцией $PR$ на плоскость $\beta$ также равен $30^\circ$.
   • Проекция точки $P$ на плоскость $\beta$, то есть точка $R$, находится на перпендикуляре, опущенном из точки $P$ на плоскость $\beta$. Таким образом, отрезок $PR$ образует прямой угол с плоскостью $\beta$, а $\angle PCR = 30^\circ$.

2. Используем косинус угла:

   • Так как $\angle PCR = 30^\circ$, можем рассмотреть прямоугольный треугольник $PCR$, где $PC$ — это гипотенуза, а $PR$ — один из катетов.
   • В прямоугольном треугольнике соотношение между катетом и гипотенузой определяется через косинус угла: $$\cos \angle PCR = \frac{PR}{PC}$$
   • Подставим значения: $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $PC = 16$.

3. Вычисляем $PR$:

   • Подставим данные в формулу: $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{PR}{16}$$
   • Умножим обе стороны на 16, чтобы выразить $PR$: $$PR = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$$

4. Ответ:

   • Получаем, что $PR = 8\sqrt{3}$ см.

Таким образом, длина отрезка $PR$ составляет $8\sqrt{3}$ см, что приближенно равно 13,86 см.