В правильной шестиугольной призме \( ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1 \) все стороны оснований равны 1, боковые рёбра равны 3. Найти угол \( CE_1 E \).

Ответ: $30^\circ$.

Пояснение. Разместим основание призмы в плоскости $z=0$ как правильный шестиугольник радиуса $1$:

Тогда

Скалярное произведение:

Отсюда

(Замечание: $CE=\sqrt3$ — это горизонтальная проекция $E_1C$ на основание; в треугольнике с вертикалью $E_1E=3$ и гипотенузой $E_1C=2\sqrt3$ та же формула даёт $\cos\angle CE_1E=3/(2\sqrt3)=\sqrt3/2$.)