Докажите, что треугольники ABC и А₁В₁С₁ равны, если АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁, АМ=А₁М₁, где AM и А₁М₁ — медианы треугольников.

Докажу с опорой на теорему Апполония (о медиане).

Пусть $M$ и $M_1$ — середины $BC$ и $B_1C_1$ соответственно, а $AM$, $A_1M_1$ — медианы. По теореме Апполония для треугольника $ABC$:

Аналогично для $A_1B_1C_1$:

По условию $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $AM=A_1M_1$. Вычитая равные величины из правых частей, получаем

Так как $M$ и $M_1$ — середины соответствующих оснований, то

откуда

Итак, у треугольников выполнено равенство трёх сторон:

Следовательно, $\triangle ABC\cong \triangle A_1B_1C_1$ по первому признаку (по трём сторонам).