В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ площади граней AA₁B₁B, ABCD и AA₁D₁D равны соответственно 153, 102 и 216. Найди длину наибольшего ребра этого параллелепипеда.

Для того чтобы найти длину наибольшего ребра прямоугольного параллелепипеда, обозначим его ребра как $a$, $b$ и $c$, где $a$, $b$ и $c$ — это длины ребер, которые соединяют различные вершины параллелепипеда.

Из условия задачи известно:

• Площадь грани $AA_1B_1B$ равна 153, что соответствует площади прямоугольника с ребрами $a$ и $b$. То есть:

  $$a \cdot b = 153$$

• Площадь грани $ABCD$ равна 102, что соответствует площади прямоугольника с ребрами $b$ и $c$. То есть:

  $$b \cdot c = 102$$

• Площадь грани $AA_1D_1D$ равна 216, что соответствует площади прямоугольника с ребрами $a$ и $c$. То есть:

  $$a \cdot c = 216$$

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

Для нахождения длины наибольшего ребра параллелепипеда, нам нужно решить эту систему. Умножим все три уравнения между собой:

Это можно записать как:

Теперь вычислим правую часть:

Итак, у нас получилось:

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:

Теперь, зная, что $a \cdot b \cdot c = 1836$, мы можем найти каждую из длин ребер. Для этого разделим $a \cdot b \cdot c = 1836$ на каждое из уравнений:

1. Разделим $a \cdot b \cdot c = 1836$ на $a \cdot b = 153$:

2. Разделим $a \cdot b \cdot c = 1836$ на $b \cdot c = 102$:

3. Разделим $a \cdot b \cdot c = 1836$ на $a \cdot c = 216$:

Теперь мы знаем длины ребер $a = 18$, $b = 8.5$, $c = 12$. Наибольшее ребро — это $a = 18$.

Ответ: длина наибольшего ребра параллелепипеда равна 18.