Сформулируйте и докажите свойства углов прямоугольного треугольника.

Ниже — классический набор свойств углов прямоугольного треугольника и их доказательства.

Обозначения. Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный, $\angle C = 90^\circ$. Острые углы: $\alpha=\angle A$ и $\beta=\angle B$.

1) Сумма острых углов равна $90^\circ$

Формулировка. В прямоугольном треугольнике $\alpha+\beta=90^\circ$.

Доказательство. Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$:

2) Острые углы взаимно дополнительные

Формулировка. Если один острый угол равен $\alpha$, то другой равен $90^\circ-\alpha$.

Доказательство. Это немедленное следствие пункта 1:

3) Соотношение «больший катет ↔ больший острый угол»

Формулировка. Против большего острого угла лежит больший катет; равным острым углам соответствуют равные катеты.

Доказательство. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В нашем $\triangle ABC$ гипотенуза самая большая, а сравнивая острые углы $\alpha$ и $\beta$, получаем: если $\alpha>\beta$, то против $\alpha$ (то есть катет $BC$) больше катета $AC$, и наоборот. Если $\alpha=\beta$, то $AC=BC$ — треугольник равнобедренный с катетами, следовательно $\alpha=\beta=45^\circ$.

4) Внешний угол при вершине прямого угла равен $90^\circ$

Формулировка. Внешний угол, смежный с прямым углом, равен сумме двух внутренних несмежных углов.

Доказательство. Внешний угол при $C$ равен $180^\circ-90^\circ=90^\circ$. По теореме о внешнем угле он равен сумме $\alpha+\beta$, а по пункту 1 эта сумма действительно $90^\circ$.

5) Признак равнобедренного прямоугольного треугольника (угловой)

Формулировка. Если один острый угол равен $45^\circ$, то другой тоже $45^\circ$; наоборот, если острые углы равны, то каждый по $45^\circ$.

Доказательство. Из пункта 2: $\beta=90^\circ-\alpha$. При $\alpha=45^\circ$ имеем $\beta=45^\circ$. Если же $\alpha=\beta$, то $2\alpha=90^\circ\Rightarrow \alpha=\beta=45^\circ$.

6) Углы при высоте к гипотенузе «копируют» острые углы исходного треугольника

Формулировка. Пусть $CH$ — высота к гипотенузе $AB$. Тогда маленькие треугольники $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$ подобны исходному $\triangle ABC$, а угол между каждым катетом и высотой равен одному из острых углов исходного треугольника:

Доказательство. В $\triangle ABC$ угол при $C$ прямой, значит углы при $H$ в треугольниках $ACH$ и $BCH$ также прямые. Рассмотрим $\triangle ACH$ и $\triangle ABC$: они имеют общий угол $\angle A$ и по одному прямому углу, следовательно подобны (по двум углам). Аналогично, $\triangle BCH \sim \triangle ABC$. Из подобия углы при $C$ в малых треугольниках соответственно равны $\beta$ и $\alpha$, что и утверждалось.

7) Биссектриса острого угла делит прямой угол на равные части в соответствующих подобных треугольниках

Формулировка. Если $AL$ — биссектриса угла $A$, то в треугольнике $ACL$ угол при $C$ равен $\tfrac{1}{2}\beta$, а в треугольнике, дополняющем его до $ABC$, соответствующий угол при $C$ равен $\tfrac{1}{2}\alpha$.

Доказательство. Биссектриса делит угол $A$ на $\tfrac{\alpha}{2}$. Рассматривая треугольники с вершиной $C$, получаем по сумме углов в треугольнике: при известном прямом угле $90^\circ$ и одном из острых $\tfrac{\alpha}{2}$ оставшийся угол при $C$ равен ${90}^{}$