В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на сторонах AB и BC отмечены соответственно точки M и N так, что AM = CN. Отрезки CM и AN пересекаются в точке O. Докажите, что треугольник AOC — равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник AOC является равнобедренным, начнём с анализа геометрии треугольника и свойств его сторон.

1. Пусть треугольник ABC — равнобедренный, то есть $AB = BC$, и основание AC. Также дается, что точки M и N расположены на сторонах AB и BC соответственно так, что $AM = CN$.

2. Точки M и N имеют равные расстояния от концов сторон AB и BC, то есть $AM = CN$. Это условие уже даёт нам некоторое симметричное распределение на сторонах треугольника.

3. Теперь рассмотрим отрезки CM и AN, которые пересекаются в точке O. Нам нужно доказать, что треугольник AOC является равнобедренным, то есть $AO = OC$.

4. Рассмотрим симметрию треугольника ABC относительно его оси симметрии, которая проходит через вершину B и перпендикулярна основанию AC. Эта ось симметрии делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

5. Поскольку AM = CN и точки M и N находятся на симметричных сторонах AB и BC, отрезки AM и CN симметричны относительно оси симметрии треугольника. Таким образом, линии AN и CM также симметричны относительно этой оси.

6. Поскольку AN и CM симметричны относительно оси, точка пересечения этих двух отрезков — точка O — также будет лежать на оси симметрии треугольника ABC.

7. Следовательно, из симметрии треугольника ABC и симметрии отрезков AM и CN мы получаем, что отрезки AO и OC равны между собой.

8. Таким образом, треугольник AOC является равнобедренным, так как $AO = OC$.

Мы доказали, что треугольник AOC является равнобедренным.