Докажите, что треугольник АВС и треугольник А₁В₁С₁ равны, если угол А равен углу А₁, угол В равен углу В₁, ВС равна В₁С₁.

Для доказательства того, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, при условии, что угол $A$ равен углу $A_1$, угол $B$ равен углу $B_1$, а также $BC = B_1C_1$, применим критерий равенства треугольников по двум углам и стороне (или же угол-сторона-угол).

1. Углы:
   Дано, что $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Это означает, что два угла в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

2. Сторона:
   Также дано, что $BC = B_1C_1$, то есть одна из сторон в треугольниках равна.

3. Третий угол:
   В любом треугольнике сумма углов всегда равна 180°. Следовательно, если два угла в треугольниках равны, то и третий угол также будет равен. То есть $\angle C = \angle C_1$.

Таким образом, мы имеем, что два угла и сторона в одном треугольнике равны двум углам и стороне в другом треугольнике. Согласно критерию равенства треугольников по двум углам и включенной стороне (или угол-сторона-угол), треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Это завершает доказательство.