№1. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а острый угол равен 60 градусов. №2.Стороны ромба равна одной из его диагоналей. Найдите величину угла ромба. НАПИШИТЕ ПОЛНЫЕ РЕШЕНИЕ

Задача №1: Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а острый угол равен 60 градусов.

Для решения задачи используем свойства ромба. У ромба все стороны равны, и его диагонали пересекаются под прямым углом.

1. Обозначим стороны ромба через $a$ и меньшую диагональ через $d_1$, а большую диагональ через $d_2$.

2. Известно, что сторона ромба равна 2, то есть $a = 2$.

3. Острый угол ромба равен 60 градусов, что означает, что угол между двумя соседними сторонами ромба составляет 60°.

Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, они делят ромб на 4 прямоугольных треугольника. Мы можем рассматривать один из этих треугольников. Площадь этого треугольника можно выразить через катеты, которые равны половинам диагоналей ромба: $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Так как угол между двумя сторонами ромба 60°, то использованное нами свойство прямоугольного треугольника дает формулу для длины диагоналей:

• $d_1 = a \sin(60^\circ)$.

Так как $a = 2$, подставляем в формулу:

Ответ: Меньшая диагональ ромба равна $\sqrt{3}$.

Задача №2: Стороны ромба равна одной из его диагоналей. Найдите величину угла ромба.

Для этой задачи нужно использовать свойства ромба. Пусть стороны ромба равны $a$, и одна из диагоналей имеет длину $d_1$, а другая диагональ — $d_2$.

1. Из условия задачи известно, что одна из диагоналей равна стороне ромба, то есть $a = d_1$.

2. Мы знаем, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. В этом прямоугольном треугольнике катеты — это половины диагоналей, а гипотенуза — это сторона ромба.

Из теоремы Пифагора для этого треугольника получаем:

Поскольку $d_1 = a$, подставляем это в уравнение:

Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

Теперь находим $d_2$:

Таким образом, длина второй диагонали $d_2 = \sqrt{3}a$.

Теперь, чтобы найти угол ромба, рассмотрим, что ромб делится своими диагоналями на четыре прямоугольных треугольника. Мы можем использовать тригонометрию. Поскольку одна из диагоналей делит ромб на два прямоугольных треугольника с углом 90°, и одна из сторон ромба является гипотенузой, угол между сторонами ромба можно найти по формуле для угла между сторонами в прямоугольном треугольнике.

В данном случае угол $\theta$ будет равен:

Подставляем $d_2 = \sqrt{3}a$: