Дана правильная четырёхугольная пирамида, апофема равна \(2a\), высота равна \(a\sqrt{2}\). Найти сторону основания или ребро основания.

Задача заключается в нахождении стороны основания или ребра основания правильной четырёхугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна $2a$, а её высота равна $a\sqrt{2}$.

1. Определение элементов пирамиды:

   В правильной четырёхугольной пирамиде основание представляет собой квадрат. Апофема — это расстояние от вершины пирамиды до середины ребра основания, которое является наклонной стороной боковой грани.

2. Обозначим необходимые параметры:

   • Пусть $s$ — сторона основания квадрата.

   • Высота пирамиды $h = a\sqrt{2}$.

   • Апофема пирамиды $l = 2a$.

3. Связь между апофемой, высотой и стороной основания:

   Мы можем рассматривать треугольник, образованный:

   • высотой пирамиды $h = a\sqrt{2}$,

   • половиной стороны основания $\frac{s}{2}$,

   • апофемой $l = 2a$.

   Это прямоугольный треугольник, где:

   • гипотенуза — апофема $l = 2a$,

   • один катет — высота пирамиды $h = a\sqrt{2}$,

   • второй катет — половина стороны основания $\frac{s}{2}$.

   Применим теорему Пифагора для этого треугольника:

   $$l^2 = h^2 + \left( \frac{s}{2} \right)^2$$

   Подставим известные значения:

   $$(2a)^2 = (a\sqrt{2})^2 + \left( \frac{s}{2} \right)^2$$

   Это даёт:

   $$4a^2 = 2a^2 + \frac{s^2}{4}$$

4. Решим уравнение для $s$:

   Переносим все слагаемые на одну сторону:

   $$4a^2 - 2a^2 = \frac{s^2}{4}$$

   Упростим:

   $$2a^2 = \frac{s^2}{4}$$

   Умножим обе стороны на 4:

   $$8a^2 = s^2$$

   Теперь извлекаем квадратный корень:

   $$s = \sqrt{8a^2} = 2\sqrt{2}a$$

5. Ответ: Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $2\sqrt{2}a$.