Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4:3, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.

Решение.

Пусть $AB$ — основание равнобедренного $\triangle ABC$, $C$ — вершина, $CD$ — высота к основанию ($CD=30$), $D$ — середина $AB$. Возьмём биссектрису угла при основании $A$, она пересекает высоту в точке $E$.

Рассмотрим прямоугольный $\triangle ADC$. В нём

По условию $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{3}$, значит

Точка $E$ — точка пересечения биссектрисы из $A$ со стороной $DC$ в $\triangle ADC$, поэтому по теореме о биссектрисе

А так как $DE+EC=CD=30$, то $CD$ делится в отношении $2:3$. Следовательно,

Ответ: $12$ см и $18$ см (нижний участок к основанию — $12$ см, верхний к вершине — $18$ см).